三角形垂心性质总结
时间：2020-11-30 09:42:51 来源：shoasis图书馆 本文已影响人
三角形垂心的性质总结
山西省原平市第一中学 任所怀
三角形的垂心定理 ：在三角形 ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作 BE 于点 E，CF AB 于点 F，且 BE 交 CF 于点 H，连接 AH并延长
交 BC于点 D。现在我们只要证明 AD BC即可。
因为 CF AB， BE
所以 四边形 BFEC为圆内接四边形。
四边形 AFHE为圆内接四边形。
所以∠ FAH=∠ FEH=∠ FEB=∠ FCB
由∠ FAH=∠ FCB得
四边形 AFDC为圆内接四边形
所以∠ AFC=∠ ADC=90°
即 AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。三角形垂心的性质定理 1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形 ABC中， AD、 CF、BE分别为 BC、 AB、 AC上的高， D、 F、 E 分别为垂
足， H为三角形 ABC的垂心。求证： H 为三角形 DFE的内心。
证明：要证 H 为三角形 DFE的内心，只需证明 HF、HE、 HD分别平分∠ DFE、∠ FED、∠
EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由 BCEF四点共圆得∠ EFC=∠EBC （都是弧 CE所对的圆周角）
由 HFBD四点共圆得∠ HFD=∠HBD=∠ EBC （都是弧 HD所对的圆周角）
所以∠ EFH=∠ HFD 所以 HF 平分∠ EFD。
同理 HE 平分∠ FED； HD平分∠ FDE
所以 H 为三角形 DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。 因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形，
你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在 中，若点 O满足 ，则点 O为三角形 ABC的垂心。
证明：由 得 ，所以 。
同理 OB ， ，则点 O为垂心。
三角形垂心性质定理 2：
若三角形的三个顶点都在函数 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点 O(x,y) 为 的垂心，则上面的向量表示得
因为 的三个顶点都在函数 的图象上，所以设 ，
因为 ，所以
所以
所 以
(1)
同理：由 得 (2)
联立（ 1）（ 2）两式，就可解出
显然有垂心 O在函数 的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示， 把几何问题转化成了代数问题， 完美体现了
数形结合的数学思想。
（ 2005 年全国一卷理科） 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
，则实数 m =
分析： H 显然为 的垂心，我们可取特殊情况来猜想 m 的值。于是我取 为
直角三角形，角 A 为直角，此时 H 点与 A 点重合，且 O 为 BC 的中点（如图所示）。此时
，于是猜想 m=1.
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为
三角形的垂心性质定理
3：
的外心为 O，垂心为 H，则
。
证明：作出
的外接圆和外接圆直径
AD，连接 BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有
，
因为 H为
的垂心，所以
所以 HC
证明：在锐角 中， O 为外心， D,E,F 分别为三边的中点，则 OF ，
，
所以有
=
设 中角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.
在圆
O中，弧
AB 所对的圆心角
=2C
又因
OA=OB， OF
，所以
OF=OA*cosC=RcosC。
同理 OD=R*cosB, OE=R*cosA
所以
而由三角形内切圆的性质知：
所以
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证 OD+OE+OF=R+r，
需证： RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证 (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC
需证： sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC
而因为 A+B+C= 所以 sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC 显然成立
所以命题得证。
点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑
然一体”（孙维刚老师语）。通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理 5 ：
H、 A、 B、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为
一—垂心组 ) 。
此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。在此提出这个性质，主要是看到这
里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。这个结论进一步提醒我们
要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理 6 ：
H 为△ ABC的垂心，则 △ ABC，△ ABH，△ BCH，△ ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为
，
的直径为
，
因为
HD
，
所以 四边形 BEHD是圆内接四边形
所以
所以 sinB=sin
所以 =
所以 ， 的外接圆为等圆。
同理△ ABC，△ ABH，△ BCH，△ ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质这也正是在提示我们要注意八方联系。
1 中的圆内接四边形性质和正弦定理。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我
还没有发现。我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才
会有新的发现和创新。
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