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    三角形垂心性质总结

    时间:2020-11-30 09:42:51 来源:shoasis图书馆 本文已影响

    三角形垂心的性质总结

    山西省原平市第一中学 任所怀

    三角形的垂心定理 :在三角形 ABC中,求证:它的三条高交于一点。

    证明:如图:作 BE 于点 E,CF AB 于点 F,且 BE 交 CF 于点 H,连接 AH并延长

    交 BC于点 D。现在我们只要证明 AD BC即可。

    因为 CF AB, BE

    所以 四边形 BFEC为圆内接四边形。

    四边形 AFHE为圆内接四边形。

    所以∠ FAH=∠ FEH=∠ FEB=∠ FCB

    由∠ FAH=∠ FCB得

    四边形 AFDC为圆内接四边形

    所以∠ AFC=∠ ADC=90°

    即 AD BC。

    点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。三角形垂心的性质定理 1:

    锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。

    如上图,在三角形 ABC中, AD、 CF、BE分别为 BC、 AB、 AC上的高, D、 F、 E 分别为垂

    足, H为三角形 ABC的垂心。求证: H 为三角形 DFE的内心。

    证明:要证 H 为三角形 DFE的内心,只需证明 HF、HE、 HD分别平分∠ DFE、∠ FED、∠

    EDF。

    同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。

    由 BCEF四点共圆得∠ EFC=∠EBC (都是弧 CE所对的圆周角)

    由 HFBD四点共圆得∠ HFD=∠HBD=∠ EBC (都是弧 HD所对的圆周角)

    所以∠ EFH=∠ HFD 所以 HF 平分∠ EFD。

    同理 HE 平分∠ FED; HD平分∠ FDE

    所以 H 为三角形 DFE的内心。

    点评:以上两个问题都用到了四点共圆。 因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形,

    你不妨找一找。

    三角形垂心的向量表示:

    在 中,若点 O满足 ,则点 O为三角形 ABC的垂心。

    证明:由 得 ,所以 。

    同理 OB , ,则点 O为垂心。

    三角形垂心性质定理 2:

    若三角形的三个顶点都在函数 的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。

    证明:设点 O(x,y) 为 的垂心,则上面的向量表示得

    因为 的三个顶点都在函数 的图象上,所以设 ,

    因为 ,所以

    所以

    所 以

    (1)

    同理:由 得 (2)

    联立( 1)( 2)两式,就可解出

    显然有垂心 O在函数 的图象上。

    点评:此题恰当地应用了垂心的向量表示, 把几何问题转化成了代数问题, 完美体现了

    数形结合的数学思想。

    ( 2005 年全国一卷理科) 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

    ,则实数 m =

    分析: H 显然为 的垂心,我们可取特殊情况来猜想 m 的值。于是我取 为

    直角三角形,角 A 为直角,此时 H 点与 A 点重合,且 O 为 BC 的中点(如图所示)。此时

    ,于是猜想 m=1.

    而对于一般情况,上面问题,我们不妨称之为

    三角形的垂心性质定理

    3:

    的外心为 O,垂心为 H,则

    证明:作出

    的外接圆和外接圆直径

    AD,连接 BD,CD。

    因为直径所对圆周角为直角,所以有

    因为 H为

    的垂心,所以

    所以 HC

    证明:在锐角 中, O 为外心, D,E,F 分别为三边的中点,则 OF ,

    所以有

    =

    设 中角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.

    在圆

    

    O中,弧

    

    AB 所对的圆心角

    

    =2C

    又因

    

    OA=OB, OF

    

    ,所以

    OF=OA*cosC=RcosC。

    同理 OD=R*cosB, OE=R*cosA

    所以

    而由三角形内切圆的性质知:

    所以

    这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。

    而要证 OD+OE+OF=R+r,

    需证: RcosA+RcosB+RcosC=R+

    即需证

    需证 (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c

    而对上式的证明我们可采用正弦定理,化角为边,

    即需证:

    sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC

    需证: sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC

    而因为 A+B+C= 所以 sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC 显然成立

    所以命题得证。

    点评:此题的证明充分联系我们初高中的大量知识,真是做到了“八方联系,浑

    然一体”(孙维刚老师语)。通过这样的一个问题,我们的数学能力将大大提高。

    三角形垂心性质定理 5 :

    H、 A、 B、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为

    一—垂心组 ) 。

    此定理的证明相对简单,读者不妨自已试试。在此提出这个性质,主要是看到这

    里存在的一种广义对称性,即四个点中每一点都可为垂心。这个结论进一步提醒我们

    要经常换个角度相问题。

    三角形垂心性质定理 6 :

    H 为△ ABC的垂心,则 △ ABC,△ ABH,△ BCH,△ ACH的外接圆是等圆。

    分析:要证两圆为等圆,只要证明它们的半径(或直径)相等就可以啦。而这两圆都是三角形的外接圆,于是我们就想到了正弦定理。

    的直径为

    

    

    的直径为

    

    因为

    

    HD

    

    所以 四边形 BEHD是圆内接四边形

    所以

    所以 sinB=sin

    所以 =

    所以 , 的外接圆为等圆。

    同理△ ABC,△ ABH,△ BCH,△ ACH的外接圆是等圆。

    证明略。

    点评:该题的证明过程中,应用到了性质这也正是在提示我们要注意八方联系。

    

    1 中的圆内接四边形性质和正弦定理。

    以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结,当然也难免还有其它性质,我

    还没有发现。我写文章的目的,也就是在于启发读者经常进行总结,在总结中我们才

    会有新的发现和创新。

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